在拙作一位高中数学教师眼中的“阴阳八卦”之“二进制”与易经中重点解析了莱布尼兹的二进制究竟有没有借鉴邵雍的《先天图》,以及一些网站对邵雍的误读。本文想重点谈谈邵雍的《先天图》还和数学有哪些联系,以及如何用数学的观点去观察、解读《易经》。

邵雍(公元1011~1077年),字尧夫,谥康节,是中国北宋时期著名的哲学家、理学家、数学家、道士、诗人,主要哲学著作有《皇极经世书》、《梅花易数》等。他发展《周易》象数学,以“数”作为其哲学思想的逻辑起点。他提出一种《周易》先天学,继承了“形由象生,象由数设”的思想,他认为“有数而后有象,有象而后有形,数是最根本的。”此学说有关于伏羲八卦与六十四卦卦序排列的四种图表,称为《伏羲四图》,即《先天图》。

邵雍先天图是邵雍根据说卦传和用逻辑卦变的方式,自己独立推演得到的。

《先天图》到底是什么呢?它的排列方式有什么特点呢? 要想解决这些问题就必须懂得怎样去解读邵雍的《先天图》,下图一张最为正确的没有任何文字标注的邵雍先天图。邵雍就是以这张《先天图》观察天地生成之理,他描述《先天图》时说:

图虽无文,吾终日言而未尝离乎是,盖天地万物之理尽在其中矣。

邵雍先天图由方圆两套六十四卦构成,圆图居外象天,方图居内象地,天圆地方,天地相函。天圆地方并不是我们现在字面的意思,它主要指时空的顺序。

1.邵壅先天八卦与空间坐标系

在拙文一位高中数学教师眼中的“数学计算”八卦与逻辑运算中介绍八卦的二进制记法与空间坐标系的关系。我们把阳爻即作“1”,阴爻记作“0”,按照从初爻开始可以把乾记作:、坤、兑、巽、离、坎震艮。

我们把上述形式改写成立体坐标的形式。有趣得是:表中的八个坐标所代表点,恰好构成了空间单位正方体的八个顶点。

如果换一个角度来看,空间坐标系就已经把空间分成了八个部分,分别是第一卦限、第二卦限、第三卦限、第四卦限、第五卦限、第六卦限、第七卦限、第八卦限。如下图所示

空间平面直角坐标与先天八卦图

空间中任意一个点对应的三个有序实数的正负分别为:

第一卦限:、第二卦限:、第三卦限:、

第四卦限:、第五卦限:、第六卦限、第七卦限:、第八卦限:。

如果把“+”号看作阳,“-”号看作阴,则其卦限对应的卦与相背对的卦分别如下:

第一卦限乾卦对应(对称)于第七卦限坤卦;

第二卦限兑卦对应(对称)于第八卦限艮卦;

第三卦限震卦对应(对称)于第五卦限巽卦。

用空间解析几何的方法,在空间直角坐标系中作八个平面:

第一个平面:x+y+z=1取第一卦限的部分;第二个平面:-x+y+z=1取第二卦限的部分;

第三个平面:-x-y+z=1取第三卦限的部分;第四个平面:x-y+z=1取第四卦限的部分;

第五个平面:x+y-z=1取第五卦限的部分;第六个平面:-x+y-z=1取第六卦限的部分;

第七个平面:-x-y-z=1取第七卦限的部分;第八个平面:x-y-z=1取第八卦限的部分。

这样得出的八面体称为正八面体。该图像的形状有它的背景,来源于天然钻石的形状。

将八面体中的八个三角面赋予先天八卦图上的八个卦:

第一个卦限平面x+y+z=1上的任一点(+,+,+)对应与(阳,阳,阳)为乾卦;

第二个卦限平面-x+y+z=1上的任一点(-,+,+)对应与(阴,阳,阳)为兑卦;

第三个卦限平面-x-y+z=1上的任一点(-,-,+)对应与(阴,阴,阳)为震卦;

第四个卦限平面x-y+z=1上的任一点(+,-,+)对应与(阳,阴,阳)为离卦;

第五个卦限平面x+y-z=1上的任一点(+,+,-)对应与(阳,阳,阴)为巽卦;

第六个卦限平面-x+y-z=1上的任一点(+,+,-)对应与(阴,阳,阴)为坎卦;

第七个卦限平面-x-y-z=1上的任一点(-,-,-)对应与(阴,阴,阴)为坤卦;

第八个卦限平面-x-y-z=1上的任一点(+,-,-)对应与(阳,阴,阴)为艮卦。

八卦的立体图形

从上图可看到,空间直角坐标系八个卦限的对应对称关系,与先天八卦图上的对应对称关系是完全一致的。这样就将先天八卦与正八面体的图形结合在一起,产生了先天八卦的立体图形。而通过空间直角坐标系与先天八卦图的联系,表示出其对应关系的一致性。

2.先天

邵康节墓

八卦的“加一倍法”与二进制

邵雍的《先天图》无论八卦还是六十四卦,其卦序顺读都是始《乾》终《坤》,很多学者大都是按顺读的的方法来读它,这当然不容易发现其中的二进制的记数方法。但邵雍已经指出:“夫易之数,由逆而成矣。”他告诉我们考察《先天图》的易数关系的要诀是“逆数”,其中包括卦序的“逆数”和爻序的“逆数”。卦序的“逆数”是从《坤》卦至《乾》卦,如果我们将卦画中的阴爻设定为“0”,阳爻设定为“1”,那上面的《伏羲八卦次序图》正好是按二进制记数方法所表示的0-7的自然数表:

上图的解释:将横排的八卦序列坤、艮、坎、巽、震、离、兑、乾自中间分开,按照天道左旋地道右旋之理,将它们分成两个半圆,再将两个半圆合成一个正圆,即是先天八卦图。

“加一倍法”:比如从乾卦开始,把上爻变为阴爻,乾卦变为兑卦,此谓从一个卦乾卦变成两个卦乾卦与兑卦,即——“一变而二”;第二步把上面得到的乾卦与兑卦的中爻变为阴爻,则得到离卦与震卦,此谓从两个卦乾卦与兑卦变成了乾、兑、离、震,即——“二变而四”;三变乾、兑、离、震的初爻可以得到巽、坎、艮、坤,此谓“三变而八”。如下图

邵壅三变成八卦图

同样的,还可以试着以坤卦为祖,用坤卦来变:一变坤的上爻得艮,是为“一变而二”;再变坤与艮的中爻,分别得坎与巽二卦,合坤与艮共为四卦,是为“二变而四”;三变坤、艮、坎、巽四卦的初爻,分别得震、离、兑、乾,总计是“八卦成矣”。

对于纯数学性而言,你可以随意从哪一卦开始,都可以通过“加一倍法”得到先天八卦。

董其昌书法《邵康节贴》

3.六十四卦圆方图的“加一倍法”与二进制3.1“加一倍法”

邵雍说“一变而二,二变而四,三变而八卦成矣。四变而有十六,五变而三十有二,六变而六十四卦备矣”。下面尝试以六爻乾卦为祖,通过“六变”而得到六十四卦圆图。

如图所示:

一变乾一的上爻,得夬二,是为“一变而二”。

二变乾一和夬二的五爻,得大有三和大壮四,是为“二变而四”。

三变乾一、夬二、大有三、大壮四的四爻,得小蓄五、需六、大蓄七、泰八,是为“三变而八”。

四变乾一、夬二、大有三、大壮四、小蓄五、需六、大蓄七、泰八的三爻,得履九、兑十、睽十一、归妹十二、中孚十三、节十四、损十五、临十六,是为“四变而有十六”。

五变乾一、夬二、大有三、大壮四、小蓄五、需六、大蓄七、泰八、履九、兑十、睽十一、归妹十二、中孚十三、节十四、损十五、临十六的二爻,

得同人十七、革十八、离十九、丰二十、家人二十一、既济二十二、贲二十三、明夷二十四、无妄二十五、随二十六、噬嗑二十七、震二十八、益二十九、屯三十、颐三十一、复三十二,是为“五变而三十有二”。

六变乾一、夬二、大有三、大壮四、小蓄五、需六、大蓄七、泰八、履九、兑十、睽十一、归妹十二、中孚十三、节十四、损十五、临十六、同人十七、革十八、离十九、丰二十、家人二十一、既济二十二、贲二十三、明夷二十四、无妄二十五、随二十六、噬嗑二十七、震二十八、益二十九、屯三十、颐三十一、复三十二的初爻,

得姤三十三、大过三十四、鼎三十五、恒三十六、巽三十七、井三十八、蠱三十九、升四十、讼四十一、困四十二、未济四十三、解四十四、涣四十五、坎四十六、蒙四十七、师四十八、遁四十九、咸五十、旅五十一、小过五十二、渐五十三、蹇五十四、艮五十五、谦五十六、否五十七、萃五十八、晋五十九、豫六十、观六十一、比六十二、剥六十三。

用此规律非常容易记住邵康节的六十四圆方图中各卦的分布。

3.2二进制表示与变化

《伏羲六十四卦方位图》在六十四卦的圆图中,又置有一个六十四卦的方图。无论圆图和方图,卦序之中都内在地体现严格意义上的二进制的记数方法。其中的方图更为典型而直观,读懂它的要诀就是“逆数”,即由左向右,第一行始坤终否,接第二行始谦终遯,再接第三行始师终讼,以下接第四行、第五行、第六行、第七行,最后接第八行始泰终乾。而这正是按二进制方法所表示的 0-63的自然数表:

需要指出的是,《先天图》的二进制数表是以《周易》卦画为形式的。从易数的观点看,卦画所表示的是数,而不是象。其记数方式是通过两个基本的卦画符号来进行的。而爻位就是二进制数的位值。先天八卦图体现的是三位二进制数表,先天六十四卦图体现的是六位二进制数表。

以上所说,是读懂《先天图》卦序的要诀:卦序的“逆数”。而要进一步理解先天易数的具体进位方法,还有一个要诀,就是爻序的“逆数”:由低数位向高数位进位,是上爻向五爻进位,五爻向四爻进位,四爻向三爻进位,三爻向二爻进位,二爻向初爻进位。而进位的原则是逢二进一位。如剥000001为自然数1。若加1,则以此1加上原来的1而为2,则进一位为比000010,为自然数2。再加1,因此数位上是0,则不须进位,将0改为1而为观000011,为自然数3。再加1,因观000011后两数位为11,则连续进两位而为豫000100,为自然数4;如此类推。

“加一倍法”的奥义,邵壅之前几乎无人述及的,不管是今本的《周易》64卦,汉代的各种卦气说的64卦,还是帛书64卦,尽管它们的排列方式各有不同,但按二进制如此的排列次序来看,它们都是杂乱的。这个事实说明,上述这些创制、整理、解读和使用《易经》64卦的人,都没有认识到64卦所蕴含的这种数学规律。是邵壅把六十四个易卦“加了倍”拓展成(2^6) ^2=(64) ^2,计有4096种变化.因为无论阴爻还是阳交,又有可变与不可变之分,在此有必要先弄清楚,邵雍之“加一倍法”的真实含义不是简单地乘二加倍,而是二乘方。

这种排列方式虽然巧妙,但其卦序与阴阳生息变化却是逆行,与传统的解读方式有较大的出入,再如十二辟卦在其中的位置也不是有规律的,用它来解释一年四季的阴阳消息不能处处贴合。这些问题邵壅肯定也是考虑到的,或者当时的易学者也会提出这些问题,希望有识之士能早日研究出邵壅《先天图》的正确解读之法 。